تحلیل دینامیکی تیر مایل تحت اثر بار متحرک جرم فنر با در نظر گرفتن تئوری برشی مرتبه اول به روش اجزاء محدود

فصل اول- مقدمه سازه های مهندسی در حوزه حمل و نقل تحت اثر بارهایی هستند که در دو حوزه زمان و مکان دارای تغییرات هستند. در مباحث مکانیکی به چنین بارهایی، بارهای متحرک می-گویند.در سالهایاخیر، مسأله رفتارسازه ها تحت اثر بار متحرک یکی از مسائل مهم در حوزه مهندسی بوده است.مانند چنین سازه هایی را در ساخت پل ها، ریل هاو . . . می توان مشاهده نمود. همچنین تمام شاخه های حمل و نقل در سالهای اخیر به سرعت بالا و وزن بیشتر گرایش پیدا کرده اند، در نتیجه سازه هایی که این وسایط روی آنها حرکت می کنند نسبت به قبلاً تحت تنش دینامیکی و ارتعاش بیشتری قرار می گیرند. محققان در راستای دستیابی به رفتار دقیق این سازه ها و ایجاد یک مدل ریاضی هرچه بهتر تلاش های بسیاری نموده اند. اندرکنش میان تیر و جرم متحرک روی آن ( که می تواند به عنوان مدلی برای تحلیل سیستم تیرهای پل یا ریل راه آهن باشد)، یک مسأله ترکیبی، زمانی و دینامیکی غیر خطی است. توجه بیشتر تحقیقات انجام شده، روی رفتار و پاسخ های دینامیکی سازه تکیه گاه (پل) متمرکز و وسیله ی متحرک معمولاً به صورت مدلی تقریبی در نظر گرفته شده است. اگرچه وقتی که رفتار و پاسخ های هر دو جزء سیستم مورد نظر باشد، در نظر گرفتن مدل هایی که بتوانند به خوبی خواص دینامیکی وسیله ی متحرک و تیر را تخمین بزند الزامی است. برای به دست آوردن تئوری های اساسی با استفاده از روش های تحلیلییا برای جهت دادن به مطالعات پارامتریک ، که اثرات دینامیکی مختلف را مد نظر قرار دهد، بیش ترین دقت و توجه روی مسائلی است که در ارتباط با پل های راه آهن سریع السیر می باشند. زیرا در این مسائل علاوه بر معیارهای مقاومت سازه پل، ایمنی و راحتی واگن ها و مسافران مطرح است. در طراحی پل های راه آهن سریع السیر، ماکزیمم شتاب عمودی و افقی وسیله متحرک در جهت تأمین راحتی مسافران و سلامت تجهیزات حمل شونده توسط وسیله متحرک در نظر گرفته می شود. 1-1- مدل وسیله متحرک وسایل متحرک مورد نظر ممکن است شامل جریان ترافیکی روییک پل بزرگراه یا یک خط پیوسته قطار مانند از ماشین ها، قطار یا فقط یک وسیله متحرک باشند. هر جزء جریان ترافیکی می تواند یک ماشین، تراکتور، کامیون یا یک واگن قطار باشد. وسیله متحرک ممکن استدارای چند فرکانس نزدیک به هم به اضافه فرکانس تحریک به دلیل سرعت حرکت باشد. اگر هر یک از این فرکانس ها با هر یک از فرکانس های ارتعاشی پل مطابق شوند، پدیده تشدید اتفاق می افتد. پدیده تشدید اولین و مهم ترین پارامتر در طراحی پل ها می باشد. مدل بار متحرک ساده ترین مدلی است که در مطالعات ارتعاش پل و وسایل متحرک مورد استفاده قرار گرفته است. با این مدل، پارامترهای دینامیکی پل تحت اثرحرکت وسیله متحرک، با درجات کافی قابل تصویرند. به دلیل صرف نظر شدن از اثر اندرکنش میان پل و وسیله متحرک در مدل بار متحرک، این مدل برای حالتی مناسب است که جرم وسیله نقلیه در مقایسه با پل کوچک بوده و یا پاسخ های وسیله متحرک مدنظر نباشند.به صورت تئوریک همه سیستم های مذکور را می توان به صورت دو سازه الاستیک با فرکانس های ارتعاشی متعدد مورد بررسی قرار داد. برای حالتی که اینرسی وسیله متحرک کوچک نباشد، در مدل-سازی بایستی به صورت جرم متحرک در نظر گرفته شود. مدل وسیله متحرک می تواند در جهت بررسی اثر میراگر و فنر روی سیستم های متحرک مورد استفاده قرار گیرد. ساده ترین مدل در این حالت یک جرم می باشد که توسط یک میراگر و فنر (که مدل جـرم- فنر- میراگر یا نوسان گر نامیده می شود) نگهداشته شده است (شکل 2).امروزه به دلیـل قابلیت های بالای کامپیوترها و پیشرفت تکنولوژی های محاسباتی، در نظر گرفتن خواص دینامیکی وسایل متحرک به صورت واقعی تر امکان پذیر شده است. اگرچه استفاده از مدل وسیله پیچیده تر می تواند شبیه سازی را واقعی تر کند، ولی این کار مسائل محاسباتی خاصی را به وجود می آورد. برای مثال در فـرآیند تحلیل با استفـاده از روش های گام به گام ممکن است یک سری واگرایی در بهدست آوردن نیروهای تماسی در نقطه تماس به وجود آید. 1-2- مدل پل بسیاری از محققان سازه پل را با تقریب نسبتاً درستی به صورت تیر یا ورقساده مدل نموده اند. تیرها و ورق ها به عنوان المان های سازه ای کاربرد گسترده ای در سازه های مهندسی، صنایع نظامی، دریایی و فضایی داشته و به همین علت مطالعه رفتار آن ها دارای اهمیت زیادی است. سازه پل ممکن است به صورت یک تیر با تکیه گاه های مختلف، تیر سرتاسری چند دهانه، ورق با تکیه گاه هایمختلفیا ورق سرتاسری چنددهانهو . . .با بارگذاری و هندسه گوناگون در نظر گرفته شود.به جز در مواردی که بر پایه روش های تحلیلی استوارند، اساساً محدودیتی روی نوع سازه در نظر گرفته شده وجود ندارد. تنها تفاوت در این است که مدل ساده تر محاسبات و هزینه کم تری را در بر دارد. از موارد دیگری که ممکن است در مدل سازی پل ها با آن روبه رو باشیم، وجود زبرییا ناهمواریسطح روسازیاست که وابسته به جنس، طرز ساخت سازه روسازی یا چگونگی نگهداری آن بوده و ماهیت تصادفی دارد. 1-3- مواد و مصالح از آن جا که در گذشته جهت ساخت سازه ها، اغلب از مواد ایزوتروپیک استفاده می شد، بیش تر مطالعات و مدل سازی ها بر اساس فرض مواد و مصالح مورد استفاده به صورت ایزوتروپیک استوار بوده است.در بسیاری از کاربردها، جهت دست یابی به عمل کرد مطلوب، امکان استفاده از یک نوع ماده که همه خواص مورد نظر را فراهم نماید، وجود ندارد. لذا از مواد مرکب که ترکیبی از خواص مطلوب را دارا هستند، استفاده می شود. با گسترش تکنولوژی، استفاده ازمواد مرکبیا مرکب لایه ای به دلیل مقاومت و سختی بالا و وزن کم، مقاومت بالا در برابر خوردگی، سایش، خستگی و خصوصیات حرارتی مناسبمـورد توجهقرارگرفته و در محدوده وسیعی از فعالیت های صنعتی استفاده می شوند. 1-4- روش های فرمول بندی و حل معادلات سیستم روش های تحلیلی دقیق برای مسائل ورق ها و تیرها با استفاده از روش های کلاسیک، محدود به تیرها و ورق های ساده از نظر هندسه، شکل بارگذاری، شرایط تکیه گاهی و مرزی می شود. اگر این شرایط پیچیده تر شوند، تحلیل های کلاسیک بسیار زمان بر، پر هزینه و گاهی غیر ممکن می باشند. در این حالت، روش های تقریبی تنها راه حل هایی هستند که برای تحلیل مسائل تیرها و ورق ها کاربرد دارند. با این حال روش های کلاسیک ارزش خود را حفظ می-کنند، زیرا ما را قادر می سازند تا دید مناسبی از تغییرات تنش ها و کرنش ها به دست آورده و درک بهتری از رفتار فیزیکی ورق ها و تیرها تحت بارهای وارده داشته باشیم. هم چنین جهت ارزیابی نتایج حل های تقریبی به صورت مقایسات کمی و حد و مرزهای جواب ها قابل کاربردند. روش های تقریبی را می توان به دو دسته کلی تقسیم نمود: الف- روش های مستقیم ب- روش های غیرمستقیم روش های مستقیم ما را قادر می سازند تا مقادیر عددی توابع مجهول را با تجزیه مستقیم معادله دیفرانسیل حاکم بر مسأله به دست آوریم. هم چنین این روش ها می توانند به عنوان روش هایی برای حل مسائل توسط کامپیوترها محسوب شوند. برخی از این روش ها عبارتند از: - روش دیفرانسیل محدود - روش ترتیب مرزی - روش المان مرزی - روش گالرکین روش هایغیرمستقیم از اصول تغییراتی برای تعیین میدان عددی توابع مجهول (خیزها، نیروهای داخلی و لنگرهای خمشی) استفاده کرده و از معادلات دیفرانسیل تئوری های تیرها و ورق ها دوری می کنند. برخی از این قبیل روش ها عبارتند از: - روش ریتز - روش اجزاء محدود توسعه روش اجزاء محدود برای حل مسائل کاربردی مهندسی با پیشرفت کامپیوتر های دیجیتال شروع شد. اول حل اجزاء محدود یک مسئله مهندسی، حل یک سری معادله جبری حاکم است که فقط توسط کامپیوتر های دیجیتال انجام می شود. روش اجزاء محدود یک روش محاسباتی قوی برای حل معادلات دیفرانسیلی و انتگرالی در حوزه مسائل مهندسی و بخشی مهم و ضروری در تحلیل مهندسی است. برنامه های کامپیوتری اجزاء محدود امروزه به صورت گسترده ای در تمامی شاخه های مهندسی برای تحلیل سازه ها، اجسام و سیالات استفاده می شود. روش اجزاء محدود حالت کلی تری از روش های تغییراتی کلاسیک و باقیمانده وزنی است.یافتن توابع تقریب مورد نیاز در روش اجزاء محدود برای مسائلی که دارای هندسه پیچیده هستند و یادارای شرایط مرزی متغییر روی مرزها هستند به مراتب ساده تر از یافتن این توابع در روش های تغییراتی کلاسیک است.قابلیت تقسیم دامنه به اجزائی با اشکال ساده و منظم، روش اجزاء محدود را به روشی کارا و عملی برای حل مسائل مقادیر مرزی، مقادیر اولیه و مقادیر ویژه تبدیل می کند. توابع تقریب اغلب با استفاده از تئوری درون یابی به دست می آیند. ازاین جهت به این توابع، توابع درون یابی نیز گفته می شود. روش اجزاء محدود دو خصوصیت ممتاز دارد که آن را از سایر روش ها متمایز می کند: الف- در این روش، دامنه های دل خواه مسأله به مجموعه ای از زیربخش های ساده به ناماجزاء(المان) محدود تقسیم می شوند. تقسیم کردن دامنه به المان ها، شبکه بندیاجزاء محدود نامیده می شود. با این کار تعیین توابع تقریب بر روی المان ها آسان می شود. ب- در هر المان، حل معادلات حاکم با استفاده از ترکیب خطی پارامترهای مجهول و توابع تقریب انتخاب شده، تقریب زده می شود. وقتی که با استفاده از چندجمله ای ها،حل مسأله روی هر المان به دست آمد، تقریبی پیوسته از حل با اعمال پیوستگی حل اجزاء محدود و موجود بودن مشتقات آن روی دامنه المان به دست می آید. جدای از خصوصیات بیان شده، روش اجزاء محدود یک روش عددی کلی است که در آن معادله ی دیفرانسیل داده شده به شکلی معادل (که انتگرال وزنییا فرم تغییراتی نامیده می-شود) بر روی هر المان بازنویسی می شود، به طوری که فرم تغییراتی در هر المان ارضا شود. این روش با حل تعداد زیادی از معادلات برای مقادیر گرهی و در نتیجه تعداد زیادی مجهولات سر و کار دارد، به همین جهت نیازمند به محاسبات حجیم بوده و در صورتی استفاده از آن عملی است که از کامپیوتر استفاده شود.روش اجزاء محدود را می توان به عنوان یک روش ایجاد توابع تقریب برای روش هایتغییراتی (به عنوان مثال روش های ریلی- ریتز ، گالرکین، حداقل مربعات و . . .) برشمرد.تحلیل اجزاء محدود مسائل سازه ای،یک تحلیل عددی از مدل ریاضیاتی استفاده شده برای بیان رفتار سازه می باشد. بنابراین با فرضیاتی در ارتباط با بیان هندسه و رفتار سازه سرو کار دارد. فرضیات قابل قبول وقتی به خوبی اعمال می شوند که درک درستی از رفتار سازه وجود داشته باشد. هرگاه دو یا چند سیستم فیزیکی در تماس با هم باشند با حل مستقل هر کدام نمی توان کل سیستم را حل کرد، چنینی سیستم هایی کوپل نامیده می شود. سیستم های کوپل بر اساس درجه تماس به ضعیف و قویتقسیم بندی می شوند. میان سیستم های مختلط و تقلیل ناپذیر با سیستم های کوپل تفاوت وجود دارد. در سیستم کوپل یک حل تحلیلی کامل براییک سیستم منفرد قبل از حذفیات لازم است و همچنینی در سیستم کوپل حل یک سیستم منفرد بعد از مقید کردن سیستم دیگر امکان پذیر است، در حالی که در سیستم های مختلط همیشه چنینی نیست. سیستم های کوپل به دو دسته تقسیم بندی می شوند: 1- این دسته شامل مسائلی است که کوپل بر دامنه در شرایط مرزی اتفاق می افتد. در حالت کلی ،دامنه ها حل فیزیکی متفاوتی را توصیف می کنند اما این امکان پذیر است که بین دامنه هایی که به صورت فیزیکی مشابه اند کوپل برقرار کرد. 2- دسته دوم شامل مسائلی است که دارای همپوشانی جزئی یا کلی در دامنه های مختلف هستند و کوپل در معادلات دیفرانسیلی که پدیده های فیزیکی مختلف را تشریح می کنند اتفاق می افتد. گروه اول نوعاً شامل مسائل اندرکنش سازه-سیال که مسائل فیزیکی مختلف در تماس با هم هستند و سازه-سازه که محل تماس به صورت ساده و اختیاری به طوری تقسیم می شود که گسسته سازی عددی متفاوتی مورد استفاده قرار گیرد است. در دسته دوم مسائلی مانند شکل دهی فلزات قرار می گیرد. در ادامه، برخی از روند های مرسوم کوپل کردن معادلات حاکم به دست آمده از روش های فوق و معادلات وسایل متحرکمعرفی و کلیات آن به اختصار بیان می شود. الف- روش فرض جابجایی نقطه تماسی اساس این روش، شروع با مقادیر فرضی جابجایی برای نقطه تماسیبوده که در نتیجه نیروهای تماسی با استفاده از معادلات وسیله نقلیه قابل محاسبه اند. سپس با جای گذاری نیروهای تماسی در معادلات تیر، جابجایی های بهینه شده در نقطه تماسی محاسبه می شوند. مزیت این روش این است که پاسخ اجزاء سیستم در هر لحظه قابل محاسبه اند. سرعت همگرایی تکرارها وقتی که فرض اولیه واقعی تری داشته باشیم، سریع تر است. ب- استفاده از تکنیک های کاهش یکی از روش های موثر برای حل معادلات سیستم تیر و وسیله متحرک، تشکیل تکنیک کاهش روی المان ها است. اساس این روش بر کاهش دادن اندرکنش ها یا نیروهای تماسی از دو سری از معادلات حاکم بر سیستم استوار است. به این صورت می توان یک سری جدید از معادلات ترکیب شده برای سیستم تشکیل داد. در این حالت، تقارن و سایر خواص ماتریس-های دینامیکی سیستم از بین می روند. در برخی از مطالعات از روش کاهش دینامیکی برای محدود کردن درجـات آزادی اعمـالی از وسیله متحرک به المان ها استفـاده کرده انـد. این روش ها قادر به ارائه حل های دقیقی (نسبت به سایر روش های تقریبی یا دقیق) برای پاسخ-های وسایل متحرک برای درجات آزادی سیستم نیستند. ج- روش های بر اساس محاسبه نیروهای تماسی بر حسب جابجایی های تماسی در این روش که توسط یانگ و وو [1] در سال 2001 ارائه شده است، معادلات وسیله متحرک بایستی در بازه های مختلف زمانی تعیین شود، که بر اساس معادلات دیفرانسیل محدود نیـومارک انجام می شود. نیروهای تماسی از معادلات وسیله متحرک محاسبه و سپس به صورت بارهای خارجی متحرک به صورت نیروهای گرهی ثابت به سازه اعمال می شود. با استفاده از معادلات سازه در بازه های زمانی مجزا، جابجایی ها قابل محاسبه اند. از جمله روش های دیگری که برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم مدل های تیر و وسیله متحرک به کار گرفته می شوند عبارتند از: د- روش انتگرال گیری مستقیم مانند نیومارک- هـ- روش برهمنهی مودال در مورد روش های انتگرال گیری مختلف و- روش تبدیل فوریه دراین پایان نامه، تحلیل دینامیکی تیرهای مایل تحت اثر وسیله متحرک با استفاده از روش اجزاء محدود مورد بررسی قرار می گیرد. برای تجزیه مشتقات زمانی روش نیومارک به کار گرفته شده است.به منظور درنظرگرفتن اثرات تغییرفرم های برشیمعادلات حاکم بر اساس تئوری تغییرفرم برشی مرتبه اول و با در نظر گرفتن اینرسی دورانیبه دست آمده و استفادهشده است. ابتدا با استفاده از تئوری موجود و روش اجزاء محدود، معادلات حرکت برای یک تیر به دست آمده وسپس در هر مرحله زمانی، معادلات به دست آمده با معادلات وسیله متحرک ترکیب و دستگاه معادلات حاصل با استفاده از روش دامنه زمانی نیومارک حل شده است. در نهایت با استفاده از فرمولاسیون به دست آمده، تأثیر پارامترهای مختلف ازجمله زاویه تمایل، اندازه جرم متحرک،پارامترهای مربوط به فنر و میراگر، نوع بار و. . .بررفتار و پاسخ دینامیکی تیرهایایزوتروپیکدر مقایسه با حل های موجود حاصل از سایر روش-ها و مراجع مورد بررسی قرار گرفته است.در مثال های حل شده، تیربا ویژگی های مختلفدر نظر گرفته شده است. به منظور به دست آوردن جواب های دقیق که بتواند مــورد استفاده دیگران قرار گرفته و هم چنین رفتار واقعیسازه را نمایش دهد شرایط تکیه گاهی ســاده در نظر گرفته شده است. هدف این پایان نامه علاوه بر رفتارهای دینامیکی سازه تکیه گاه، بررسی اثرات اندرکنشی سیستم بر روی رفتار وسیله متحرک نیز می باشد. به همین منظور سعی بر این بوده که با بررسی پارامتر-های مختلف نوسانگر، رفتارهای واقعی تری از وسیله متحرک مدل شده و با هم مقایسه شوند. درفصل دوم مروری بر تحقیقات صورت گرفته توسط دیگر محققان، تئوری ها و روش های حل به کار گرفته شده برای تحلیل مسائل مشابهانجام گرفته است. در فصل سوم،ابتدا روابط حاکم بر رفتار و خصوصیات مواد ایزوتروپیک ارائه شده است. معادلات و روابط حاکم بر تیرها بر اساس تئوری تغییرفرم های برشی مرتبه اول ارائه و با استفاده از اصل کار مجازی به روش اجزاء محدود، دستگاه معادلات حاکم به دست آمده است. پس از آن، معادله حرکت وسیله متحرک برای حالات مختلف مدل وسیله به دست آمده و به شکل مناسب جهت کوپل با معادلات تیرارائه شده است. در فصل چهارم،صحت و دقت فرمولاسیون ارائه شده، پاسخ های استاتیکی و دینامیکی تیرهای ایزوتروپیک تحت اثر وسایل متحرک مختلفبا استفاده از جداول و نمودارهای هم-گرایی و مقایسه ای بررسی خواهد شد. هم چنین، مقایسه ای میاننتایج روش ارائه شده و نتایج موجود از سایر روش ها و مطالعات انجام شده است.در ادامه،تأثیر پارامترهای مختلف بررفتار وپاسخ دینامیکیسیستم بررسیشده است. در فصل پنجم، نتایج به دست آمده ارائه و پیشنهاداتی جهت ادامه کارهای مطالعاتی آتی در زمینه تحقیق حاضر ارائه شده است.